11. 가우스 함수 그래프

이번 게시글에서는 가우스 함수에 대하여 간단히 알아보고 R을 이용하여 그래프를 표현해보도록 하겠습니다. 

 

가우스 함수의 일반적 형태는 다음과 같습니다. 

여기서 a, b, c는 실수인 상수이고 c는 0이 아닙니다.

 

가우스 함수의 그래프는 좌우대칭의 종 모양의 곡선으로 +/-의 극한을 향하면서는 급격히 감소하는 특성을 가지게 되는데요. a는 이 종 모양의 높이, b는 꼭대기의 중심 위치, c는 종모양의 너비를 결정하게 됩니다. 

 

가우스 함수의 특징

-로그를 취하면 이차함수의 형태를 띈다.

-x = b ± c에서 두 변곡점을 가진다.

-해석 함수이다.

-x → ∞일 때 극한은 0으로 수렴한다.

-두 가우스 함수의 곱은 가우스 함수이며 두 가우스 함수의 합성곱도 가우스 함수이다.

-적분 형태가 오차 함수의 형태이다. (시그모이드 형태의 함수)

 

 

 

정규 분포에서 이용될때는 가우스 함수는 이 형태로 많이 보이게 됩니다. 

μ는 평균, σ는 표준편차인 정규분포 입니다. 

 

이 함수를 적분하면 정규 분포의 누적분포함수(오차함수)를 얻을 수 있게 됩니다.

 

이 함수의 실직선 전체에서의 이상 적분 값은 다음과 같이 나타나게 됩니다.

 

이러한 가우스 함수는 통계학에서의 정규 분포나 신호 처리, 이미지 처리, 열 방정식의 해 등 여러 경우에 사용됩니다.

 

그럼 이러한 가우스 함수의 그래프를 R로 표현해 보겠습니다.

 

gaus <- function(x, mu, sigma) {
  exp(-(x - mu)^2 / (2 * sigma^2))  #가우스 함수 식
}

x <- seq(-5, 5, length = 100)  #정의역 범위 설정

mu <- 0      #평균 = 0
sigma <- 1   #표준 편차=1

y <- gaus(x, mu, sigma)   #y=f(X)
plot(x, y, type = "l", xlab = "x", ylab = "f(x)")  #그래프 출력

gaus 라는 함수를 선언하고 이에 맞는 식을 정의 하였습니다. 그다음 그래프에 표시될 정의역의 범위를 설정합니다. 위 함수에서는 중심을 0으로 하고 표준편차는 1로 정하였습니다. 그 후 그래프를 출력하였습니다.

 

하지만 위처럼 복잡한 식을 사용할 필요가 없었습니다. R에 평균 밀도 함수를 제공하는 기본 함수가 있었습니다.

x <- seq(-5,5, length=100)
y <- dnorm(x)  #평균 밀도 함수
plot(x, y, type='l', main="x", ylab="f(x)")

dnorm 함수를 이용하여 가우스 함수의 형태인 평균 밀도 함수를 표현할 수 있었는데요.

 

글을 읽어주셔서 감사합니다.